Analysis Beispiele

$y = \ln (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.11.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 4.11.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.11.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Schritt 4.11.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{2 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$