Analysis Beispiele

$y = \tan (\cos (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ um.

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\sec (\cos (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Schritt 3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Schritt 3.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere $\cos (\cos (x))$ aus $\cos^{2} (\cos (x))$ heraus.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Schritt 3.3.7

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Schritt 3.3.8

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 3.3.9

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 3.3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.3.10.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 3.3.10.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ nach $\sec (\cos (x))$ um.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Schritt 3.3.11

Wandle von $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ nach $\sec (\cos (x))$ um.

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Schritt 3.3.12

Multipliziere $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Schritt 3.3.12.1

Potenziere $\sec (\cos (x))$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Schritt 3.3.12.2

Potenziere $\sec (\cos (x))$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Schritt 3.3.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Schritt 3.3.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$