Analysis Beispiele

$y = \ln (3 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$