Analysis Beispiele

$y = 7 \ln (6 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7 \ln (6 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \ln (6 x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$7 (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{6 x}$ und $7$ .

$\frac{7}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{7}{6 x}$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{42}{6 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $6$ .

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Schritt 3.3.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $42$ heraus.

$\frac{6 \cdot 7}{6 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{6 \cdot 7}{6 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 7}{6 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7}{x} \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{7}{x}$ mit $1$ .

$\frac{7}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{7}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{x}$