Analysis Beispiele

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.5.4.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3.5.4.6

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.7

Multipliziere $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.5.4.7.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 3.5.4.7.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.7.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.7.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.6

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.7

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.8

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 3.5.10.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $5 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.5.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 3.5.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 3.5.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Schritt 3.5.10.2.4

Dividiere $5 \cos (x)$ durch $1$ .

$5 \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 5 \cos (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$