Analysis Beispiele

$y = 6 x^{7} \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{7} \cos (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{7} \cos (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{7} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (x^{7} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$6 (x^{7} (- \sin (x)) + \cos (x) (7 x^{6}))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x^{7} (- \sin (x))) + 6 (\cos (x) (7 x^{6}))$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 (x^{7} (\sin (x))) + 6 (\cos (x) (7 x^{6}))$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$- 6 x^{7} \sin (x) + 42 \cos (x) x^{6}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$