Analysis Beispiele

$y = \arctan (5 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (5 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{5}{1 + 25 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{5}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{25 x^{2} + 1}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5}{25 x^{2} + 1}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{25 x^{2} + 1}$