Analysis Beispiele

$z = x^{3} e^{x y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{3} e^{x y})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $y$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} e^{x y}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$x^{3} (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (e^{x y} \cdot 1)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$x^{4} e^{x y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = x^{4} e^{x y}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x^{4} e^{x y}$