Analysis Beispiele

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $19$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $19 z^{2}$ nach $y$ gleich $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = z$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [z]$ als $z'$ um.

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5 z}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [z]$ als $z'$ um.

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $z$ mit $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $z'$ von $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $z'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ um.

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 5 z^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$5 z^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ mit $5 z^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ mit $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $z$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $z^{2}$ mit $z$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 z^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ in den Zähler.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $5 z^{2}$ mit $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $z'$ aus $190 z^{3} z' - z'$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $z'$ aus $190 z^{3} z'$ heraus.

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $z'$ aus $- z'$ heraus.

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $z'$ aus $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ heraus.

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ durch $190 z^{3} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ durch $190 z^{3} - 1$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $190 z^{3} - 1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $z'$ durch $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$