Analysis Beispiele

$z = (t - 1) (t + 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((t - 1) (t + 1))$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $t$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t - 1$ und $g (t) = t + 1$ .

$(t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t - 1) (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(t - 1) \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $t - 1$ mit $1$ .

$t - 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$t - 1 + (t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + 0)$

Schritt 3.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$t - 1 + (t + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $t + 1$ mit $1$ .

$t - 1 + t + 1$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $t$ und $t$ .

$2 t - 1 + 1$

Schritt 3.2.8.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.8.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$2 t + 0$

Schritt 3.2.8.4.2

Addiere $2 t$ und $0$ .

$2 t$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = 2 t$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = 2 t$