Analysis Beispiele

$z = \frac{y}{y - x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $x$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{y - x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y - x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y - x}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{y - x}$ als ${(y - x)}^{- 1}$ um.

$y \frac{d}{d x} [{(y - x)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = y - x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y - x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y - x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y - x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - x$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [y - x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y (1 {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(y - x)}^{- 2}$ mit $1$ .

$y ({(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y ({(y - x)}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere ${(y - x)}^{- 2}$ mit $1$ .

$y {(y - x)}^{- 2}$

Schritt 3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{{(y - x)}^{2}}$ .

$\frac{y}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = \frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$