Analysis Beispiele

$z = \frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $x$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{y + 3.7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$ .

$\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1}$ mit $\frac{1}{y + 3.7}$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3.4 x^{4} + 7.1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Schritt 3.3.3

Da $3.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3.4 x^{4}$ nach $x$ gleich $3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7.1])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $3.4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + \frac{d}{d x} [7.1])$

Schritt 3.3.6

Da $7.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7.1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + 0)$

Schritt 3.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $13.6 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3})$

Schritt 3.3.7.2

Kombiniere $13.6$ und $\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ .

$\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} x^{3}$

Schritt 3.3.7.3

Kombiniere $\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ und $x^{3}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $0.1$ aus $3.4 x^{4} + 7.1$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $3.4 x^{4}$ heraus.

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 7.1) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $7.1$ heraus.

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)$ heraus.

$\frac{13.6 x^{3}}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $13.6$ aus $13.6 x^{3}$ heraus.

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)$ heraus.

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 ((34 x^{4} + 71) (y + 3.7))}$

Schritt 3.4.4

Separiere Brüche.

$\frac{13.6}{0.1} \cdot \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.5

Dividiere $13.6$ durch $0.1$ .

$136 \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 3.4.6

Kombiniere $136$ und $\frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$ .

$\frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$