Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (3 x^{2})}{\log (\cos (3 x))}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (3 x^{2})$ und $g (x) = \log (\cos (3 x))$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 (2 x)) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\log (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)}$ und $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + 1 \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ mit $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\sin (3 x)$ und $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 (\sin (3 x) \sin (3 x^{2}))}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot 1}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ mit $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$ mit $\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot \frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 9

Kombinieren.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (3 x) \ln (10)$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.1

Vereinfache $6 \ln (10)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10^{6}) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 12.1.1.2

Potenziere $10$ mit $6$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 12.1.2

Stelle die Faktoren in $\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})$ um.

$\frac{x \cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \cos (3 x) \cos (3 x^{2}) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\log^{2} (\cos (3 x)) \cos (3 x) \ln (10)}$