Analysis Beispiele

$y = e^{\ln (\sin (x))} \sin (x)$

Schritt 1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \sin (x)]$

Schritt 2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin (x)]$

Schritt 3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)]$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{1 + 1}]$

Schritt 5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 8.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 8.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x)$