Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{2 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$