Analysis Beispiele

$e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $e^{4 x} + e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 2.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Schritt 3.2

Bringe $- e^{- x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\ln (4 e^{4 x})$ als $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ um.

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.2

Zerlege $\ln (e^{4 x})$ durch Herausziehen von $4 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Schritt 3.7

Subtrahiere $\ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - \ln (4)$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \ln (4)$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \ln (4)$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Schritt 3.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 3.56262674$

Schritt 6.4

Bei $x = - 1.27725887$ ist die Ableitung $- 3.56262674$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$71.55727104$

Schritt 7.4

Bei $x = 0.72274112$ ist die Ableitung $71.55727104$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Schritt 9