Analysis Beispiele

$y = x^{3} \cos (8 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (8 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (8 x^{2})] + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x^{2}$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) (2 x)) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2}) x) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) (3 x^{2})$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$- 16 x^{4} \sin (8 x^{2}) + 3 x^{2} \cos (8 x^{2})$