Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) - 10 \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) - 10 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \cos (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 (\sin (x) (x)) + 10 (x (- \sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \sin (x) x - 10 (x (\sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $10 x \sin (x)$ von $10 \sin (x) x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) - 10 x \sin (x) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $10 x \sin (x)$ von $10 x \sin (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 0 + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3.4

Addiere $5 x^{2} \cos (x)$ und $0$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $10 \cos (x)$ von $10 \cos (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 0$

Schritt 5.3.6

Addiere $5 x^{2} \cos (x)$ und $0$ .

$5 x^{2} \cos (x)$