Analysis Beispiele

$y = 2 \sqrt[4]{x^{3}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$2 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 10

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{2 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Schritt 11

Multipliziere.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}}$