Analysis Beispiele

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

Schritt 1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = x^{5} + 17$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 17$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 3.3

Da $17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $17$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 3.4

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4

Multipliziere $x^{\frac{1}{5}}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{4}$ .

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.4

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 4.6.2

Addiere $20$ und $1$ .

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{21}{5}}$ .

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Schritt 10.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3

Vereine die Terme

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.2

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.3

Bringe $x^{\frac{4}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{- \frac{4}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4.3

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.4.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.4.5.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.5

Kombiniere $25$ und $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.6

Faktorisiere $5$ aus $25 x^{\frac{21}{5}}$ heraus.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.7.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.7.4

Dividiere $5 x^{\frac{21}{5}}$ durch $1$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 14.3.8

Kombiniere $17$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.9

Kombiniere $25$ und $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.10

Mutltipliziere $25$ mit $17$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.11

Faktorisiere $5$ aus $425$ heraus.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.12.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{\frac{4}{5}}$ heraus.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Schritt 14.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 14.3.13

Addiere $125 x^{\frac{21}{5}}$ und $5 x^{\frac{21}{5}}$ .

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$