Analysis Beispiele

$y = \arctan (\ln (5 x + 5))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \ln (5 x + 5)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (5 x + 5)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 5)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x + 5$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)} (\frac{1}{5 x + 5} \frac{d}{d x} [5 x + 5])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 x + 5}$ mit $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x + 5)}$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} (5 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))} \cdot 5$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$ und $5$ .

$\frac{5}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $5 x + 5$ .

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Schritt 3.7.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Schritt 3.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $(5 x + 5) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

Schritt 3.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 ((x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5)))}$

Schritt 3.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + 1) (1 + \ln^{2} (5 x + 5))}$

Schritt 3.7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (5 x + 5)) (x + 1)}$