Analysis Beispiele

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arccos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.2.3

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{1 + x^{2}}$ an.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Schritt 5.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.4

Schreibe $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1 + x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.4.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.4.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.4.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.5

Schreibe $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ als ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ um.

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Schritt 5.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $(x^{2} + 2) x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Schritt 5.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 5.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Schritt 5.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Schritt 5.4.7

Kombiniere $\frac{x}{x^{2} + 1}$ und $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Schritt 5.5

Kombiniere ${(1 + x^{2})}^{2}$ und $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 + x^{2})}^{2}$ und $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ heraus.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Schritt 5.6.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.1.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Schritt 5.6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Schritt 5.6.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Schritt 5.6.1.3.4

Dividiere $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ durch $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.6.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.6

Faktorisiere $x \sqrt{x^{2} + 2}$ aus $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ heraus.

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Schritt 5.6.6.1

Faktorisiere $x \sqrt{x^{2} + 2}$ aus $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ heraus.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.6.6.2

Faktorisiere $x \sqrt{x^{2} + 2}$ aus $x \sqrt{x^{2} + 2}$ heraus.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Schritt 5.6.6.3

Faktorisiere $x \sqrt{x^{2} + 2}$ aus $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ heraus.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 5.9.2

Bewege $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Schritt 5.9.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Schritt 5.9.4

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Schritt 5.9.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.9.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Schritt 5.9.7

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ als $x^{2} + 2$ um.

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Schritt 5.9.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.9.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.9.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.9.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.9.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.9.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Schritt 5.9.7.5

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$