Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ um.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2 x - 4$ mit $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $2 (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x - 2}$