Analysis Beispiele

$y = \ln (\arctan (3 x^{4}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arctan (3 x^{4})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 (x^{4})$ an.

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ mit $\frac{1}{\arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (4 x^{3})$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ und $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{3}}{1 \arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\arctan (3 x^{4})$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{3}}{9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $\arctan (3 x^{4})$ aus $9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $\arctan (3 x^{4})$ aus $9 x^{8} \arctan (3 x^{4})$ heraus.

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4})}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $\arctan (3 x^{4})$ aus $\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1$ heraus.

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8} + 1)}$