Analysis Beispiele

$y = \ln (\sqrt[3]{3 x})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $3^{\frac{1}{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} (3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $3^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 12.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Schritt 12.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Schritt 12.2

Vereinfache $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$