Analysis Beispiele

$y = \log (| 5 - 3 x |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = | 5 - 3 x |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |}$ mit $\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)}$ .

$\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x | (| 5 - 3 x | \ln (10))} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{5 - 3 x}{| (5 - 3 x) (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 5

Potenziere $5 - 3 x$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 6

Potenziere $5 - 3 x$ mit $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} {(5 - 3 x)}^{1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1 + 1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 12

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$ .

$\frac{- 3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \cdot 1$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$