Analysis Beispiele

$y = \sin (\sec (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (\sec (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\cos (\sec (x))$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 3.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 3.6

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.8

Schreibe $\cos (\sec (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Dividiere $\cos (\sec (x))$ durch $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 3.9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))$

Schritt 3.10

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)$