Analysis Beispiele

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $\arctan (\frac{1}{x})$ mit $1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 8.3.5

Um $\arctan (\frac{1}{x})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$