Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x} + 1$ und $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Subtrahiere $e^{x} e^{x}$ von $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Subtrahiere $1 e^{x}$ von $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.2.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Subtrahiere $e^{x}$ von $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$