Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{2 x + 3}}{{(4 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{2 x + 3}$ und $g (x) = {(4 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{({(4 x - 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + 0) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} \cdot 2 - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 4.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 \cdot ({(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + 0))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.7.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \cdot 4)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} (4 \cdot {(4 x - 1)}^{2})}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 6.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ aus $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ aus $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ heraus.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ aus $- 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ aus $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)$ heraus.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1 - 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(4 x - 1)}^{2}$ und ${(4 x - 1)}^{6}$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere ${(4 x - 1)}^{2}$ aus $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)$ heraus.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere ${(4 x - 1)}^{2}$ aus ${(4 x - 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{4}}$