Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{x - a}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ und $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a x + a^{2}] - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 a x$ nach $x$ gleich $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + 0) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 2 a$ und $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x - a) (2 x - 2 a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 1 \cdot 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a \cdot a - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.7

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.7.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $2 a x$ von $- 2 x a$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Subtrahiere $2 a x$ von $- 2 a x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 4 a x$ und $2 a x$ .

$\frac{x^{2} + 2 a^{2} - 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $a^{2}$ von $2 a^{2}$ .

$\frac{x^{2} + a^{2} - 2 a x}{{(x - a)}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1

Ordne Terme um.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

Schritt 3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a - x)}^{2}$ und ${(- a + x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- a) - (x)$ heraus.

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Wende die Produktregel auf $- 1 (- a + x)$ an.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere ${(- a + x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Schritt 3.5.8

Forme den Ausdruck um.

$1$