Analysis Beispiele

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ als $e^{\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (9 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (9 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (9 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\sin (9 x)}$ nach $\csc (9 x)$ um.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $9 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $9 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 7.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\csc (9 x) \cos (9 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x})$

Schritt 9

Kombiniere $\ln (\sin (9 x))$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x})$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x)$ .

$9 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x)) \csc (9 x) \cos (9 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))}$ und $\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ .

$9 e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x) \csc (9 x) \cos (9 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (\sin (9 x))}{x}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$9 e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (\sin (9 x))}{x}$