Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (| 3 x |)$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | 3 x |$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{| 3 x |}$ und $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{3 x}{| 3 x |}$ mit $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 8

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 9

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 15

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 16.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 16.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 16.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 18.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ .

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.3

Vereinfache $2 \ln (3 | x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.4

Wende die Produktregel auf $3 | x |$ an.

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.6

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.7

Multipliziere $5 (\ln (9 x^{2}) x)$ .

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Schritt 19.2.1.7.1

Stelle $\ln (9 x^{2})$ und $5$ um.

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.7.2

Vereinfache $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.8

Wende die Produktregel auf $9 x^{2}$ an.

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.9

Potenziere $9$ mit $5$ .

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.10

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{5}$ .

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Schritt 19.2.1.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.11

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 19.2.1.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 19.2.1.13.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.1.13.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.13.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.2.2

Stelle die Faktoren in $\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ um.

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ heraus.

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Schritt 19.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (59049 x^{10})$ heraus.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Schritt 19.4

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$