Analysis Beispiele

$y = {(3 x - 5)}^{2} {(5 - x^{5})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe ${(3 x - 5)}^{2}$ als $(3 x - 5) (3 x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x - 5) (3 x - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 2

Multipliziere $(3 x - 5) (3 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $15 x$ von $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{3}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} - 30 x + 25$ und $g (x) = {(5 - x^{5})}^{3}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(5 - x^{5})}^{3}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 5 - x^{5}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - x^{5}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - x^{5}$ .

$(9 x^{2} - 30 x + 25) (3 {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $9 x^{2} - 30 x + 25$ .

$3 \cdot (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 3 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} (5 x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25]$

Schritt 6.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 30 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.12

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.13

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.15

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 6.16

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30 + 0)$

Schritt 6.17

Addiere $18 x - 30$ und $0$ .

$- 15 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 15 (9 x^{2}) - 15 (- 30 x) - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 15$ .

$(- 135 x^{2} - 15 (- 30 x) - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 15$ .

$(- 135 x^{2} + 450 x - 15 \cdot 25) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $25$ .

$(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7.5

Faktorisiere ${(5 - x^{5})}^{2}$ aus $(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4} + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere ${(5 - x^{5})}^{2}$ aus $(- 135 x^{2} + 450 x - 375) {(5 - x^{5})}^{2} x^{4}$ heraus.

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere ${(5 - x^{5})}^{2}$ aus ${(5 - x^{5})}^{3} (18 x - 30)$ heraus.

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{2} ((5 - x^{5}) (18 x - 30))$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere ${(5 - x^{5})}^{2}$ aus ${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4}) + {(5 - x^{5})}^{2} ((5 - x^{5}) (18 x - 30))$ heraus.

${(5 - x^{5})}^{2} ((- 135 x^{2} + 450 x - 375) x^{4} + (5 - x^{5}) (18 x - 30))$