Analysis Beispiele

$y = {(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von $\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cos (x))$

Schritt 7

Um $\ln (1 + x^{2}) \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}$ und $\frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (1 + x^{2})$ mit $1$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x)) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 10.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 10.1.4

Stelle die Faktoren in $2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}$ um.

$\frac{2 x e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + x^{2} e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x)}{1 + x^{2}}$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \cos (x) \ln (1 + x^{2}) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x^{2} \cos (x) \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$