Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{4} + 6}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + 0) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.10

Addiere $15 x^{4} - 28 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 2.12.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.12.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3})$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 2.12.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

Schritt 2.12.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x \cdot x^{4} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{15 (x^{4} x) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{15 (x^{4} x^{1}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 x^{4 + 1} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{15 x^{5} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x^{5} - 28 x \cdot x^{3} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x^{1}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{3 + 1} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 4.3.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $9 x^{5}$ von $15 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 28 x^{4} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 28 x^{4}$ und $21 x^{4}$ .

$\frac{6 x^{5} - 7 x^{4} - 18}{x^{4}}$