Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3} - 2}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} - 2$ und $g (x) = \sec (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 4

Faktorisiere $\sec (4 x^{2})$ aus $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sec (4 x^{2})$ aus $- (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ heraus.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $\sec (4 x^{2})$ aus $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$ heraus.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sec (4 x^{2})$ aus $\sec^{2} (4 x^{2})$ heraus.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (2 x))}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 \cdot - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{3} (\tan (4 x^{2}) x) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x \cdot x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 10.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{1} x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{1 + 3} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x}{\sec (4 x^{2})}$

Schritt 10.3.2

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x$ um.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 x \tan (4 x^{2})}{\sec (4 x^{2})}$