Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x e^{4 x}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.10

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $e^{4 x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

Schritt 3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{- 4}{16}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

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Schritt 3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{4 x}$ heraus.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

Schritt 3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

Schritt 3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{4 x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x e^{4 x}$ durch $1$ .

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.5

Um $x e^{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $x e^{4 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.10

Um $\frac{1}{4} e^{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $\frac{1}{4} e^{4 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.13

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.14

Kombiniere $\frac{e^{4 x}}{4}$ und $4$ .

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.15

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.16.2

Dividiere $e^{4 x}$ durch $1$ .

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Schritt 4.2.17

Subtrahiere $e^{4 x}$ von $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

Schritt 4.2.18

Addiere $4 e^{4 x} x$ und $0$ .

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Schritt 4.2.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Schritt 4.2.19.2

Dividiere $e^{4 x} x$ durch $1$ .

$e^{4 x} x$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $e^{4 x} x$ um.

$x e^{4 x}$