Analysis Beispiele

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $500$ und $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $500$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- 0.5 x}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Schritt 1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Schritt 1.2

Da $125$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ nach $x$ gleich $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ als ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ um.

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + e^{- 0.5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $- 125$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $e^{- 0.5 x}$ mit $1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ um.

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

Schritt 6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere $62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ .

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ und $62.5$ .

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ und $e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$