Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x}{\log_{5} (x)}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{\log_{5} (x)}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \log_{5} (x)$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\log_{5} (x)$ mit $1$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\log_{5} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{1}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (5)}$ und $x$ .

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $5$ und $\frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \log_{5} (x) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $5 \log_{5} (x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $5 (- \frac{1}{\ln (5)})$ .

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - 5 \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + \frac{- 5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - \frac{5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$