Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})]$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + 2}]$

Schritt 3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}]$

Schritt 3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 12

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$