Analysis Beispiele

$y = \sqrt[5]{x} (3 - 9 x)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}} (3 - 9 x))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = 3 - 9 x$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [3 - 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{5}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [- 9 x] + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{5}} (- 9 \cdot 1) + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot - 9 + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.6.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 9 \cdot x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 4.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Schritt 4.9

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + (3 - 9 x) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + 3 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.10.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 9 x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + x \frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{x \cdot - 9}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.4

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 \cdot x}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.5

Bringe $x^{\frac{4}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Schritt 4.10.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{4}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.10.2.6.1

Bewege $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x)}{5}$

Schritt 4.10.2.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{4}{5}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.10.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 (x^{- \frac{4}{5}} x^{1})}{5}$

Schritt 4.10.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + 1}}{5}$

Schritt 4.10.2.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{- \frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

Schritt 4.10.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{- 4 + 5}{5}}}{5}$

Schritt 4.10.2.6.5

Addiere $- 4$ und $5$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 4.10.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 x^{\frac{1}{5}} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 4.10.2.8

Um $- 9 x^{\frac{1}{5}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.9

Kombiniere $- 9 x^{\frac{1}{5}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.11

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$\frac{- 45 x^{\frac{1}{5}} - 9 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.12

Subtrahiere $9 x^{\frac{1}{5}}$ von $- 45 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- 54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{54 x^{\frac{1}{5}}}{5}$