Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{36 x^{2} + 5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{36 x^{2} + 5}$ als ${(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 36 x^{2} + 5$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $36 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $36 x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(36 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(36 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(36 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(36 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 5]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.8

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (72 x + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (72 x + 0)$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Addiere $72 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (72 x)$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $72$ und $\frac{1}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{72}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

Schritt 4.12.3

Kombiniere $\frac{72}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{72 x}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12.4

Faktorisiere $3$ aus $72 x$ heraus.

$\frac{3 (24 x)}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (24 x)}{3 ({(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (24 x)}{3 {(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24 x}{{(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{24 x}{{(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x}{{(36 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$