Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{15 x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{15 x^{2}}$ als ${(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = {(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(15 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $15 (x^{2})$ an.

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4.2

Da $15^{\frac{1}{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$15^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.10

Kombiniere $15^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $15^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$