Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Subtrahiere $\sin (x) \cos (x)$ von $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2.1.2

Addiere $1 \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{1 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$