Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 9$ und $g (x) = 2 x^{2} + 8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ heraus.

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Faktorisiere $4$ aus $36 x$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 8$ heraus.

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Schritt 3.3.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Produktregel auf $2 (x^{2} + 4)$ an.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.7.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 9 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.12

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.14

Schreibe $- (x^{2} - 9 x - 4)$ als $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$