Analysis Beispiele

$y = \frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 + 6 x - 5 x^{2}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [5 + 6 x - 5 x^{2}] - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 6 x - 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (6 - 5 (2 x)) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x - 10 x \cdot x - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x - 10 (x \cdot x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 0 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Addiere $- 10 x^{2} - 5$ und $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $- 10 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 5}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{2} - 5$ heraus.

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2}) - 5}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (- 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x^{2}) + 5 (- 1)$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x^{2}}$

Schritt 3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{5 (- (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Schritt 3.3.8

Schreibe $- (x^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{5 (- 1 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Schritt 3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$