Analysis Beispiele

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Schritt 3

Die Ableitung von

$y$ nach

$x$ ist

$y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \ln (x)$ und

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u_{1}$ durch

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von

$\ln (u_{1})$ nach

$u_{1}$ ist

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle

$u_{1}$ durch

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Schritt 4.2

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 4.2.1

Schreibe

$x^{\ln (x)}$ als

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ um.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Schritt 4.2.2

Zerlege

$\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von

$\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Schritt 4.3

Potenziere

$\ln (x)$ mit

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Schritt 4.4

Potenziere

$\ln (x)$ mit

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Schritt 4.6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = e^{x}$ und

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u_{2}$ durch

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich

$a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle

$u_{2}$ durch

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 4.8

Kombiniere

$e^{\ln^{2} (x)}$ und

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = x^{2}$ und

$g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 4.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u_{3}$ durch

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich

$n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.9.3

Ersetze alle

$u_{3}$ durch

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.10.1

Kombiniere

$2$ und

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.10.2

Kombiniere

$\ln (x)$ und

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.11

Die Ableitung von

$\ln (x)$ nach

$x$ ist

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ mit

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere

$x^{\ln (x)}$ mit

$x$ .

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Schritt 4.13.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Schritt 4.13.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Schritt 4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.14.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Schritt 4.14.2

Vereinfache

$2 \ln (x)$ , indem du

$2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Schritt 4.14.3

Stelle die Faktoren in

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ um.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Schritt 6

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$