Analysis Beispiele

$y = 8 + x^{3} e^{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 + x^{3} e^{y})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + x^{3} e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

Schritt 3.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{y}$ .

$0 + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 + x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 + x^{3} (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{y}$ .

$0 + x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $0$ und $x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$ .

$x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren in $e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$ um.

$x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$ um.

$y' = x^{3} y' e^{y} + 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{3} y' e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' - x^{3} y' e^{y}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{3} y' e^{y}$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y})$ heraus.

$y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ durch $1 - x^{3} e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ durch $1 - x^{3} e^{y}$ .

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{3} e^{y}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$