Analysis Beispiele

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 (x^{3})$ an.

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ mit $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

Schritt 3.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ und $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\arctan (2 x^{3})$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $\arctan (2 x^{3})$ aus $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $\arctan (2 x^{3})$ aus $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ heraus.

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

Schritt 3.4.4.3

Faktorisiere $\arctan (2 x^{3})$ aus $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ heraus.

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$